Головна
Статті
Допомога
Зв'язок
 
 

Слід зробити математичне моделювання в дисертації? - допоможемо!

Математичне моделювання в дисертаційних дослідженнях.

За останні десятиліття в математиці як науці відбулися значні зміни. Завдяки розвитку та впровадженню новітніх інформаційних технологій, математичних методів та алгоритмів математичний апарат став більш гнучким, різноманітним, універсальним. Ця галузь науки поступово змінює напрям розвитку з методів обчислень, як це було у минулих століттях, віддаючи перевагу методам дослідження явищ та об'єктів. Математичний аналіз дозволяє випереджати та доповнювати результати безпосереднього експерименту. Математика перетворилася на зручний та потужний засіб моделювання та дослідження багатьох явищ реального світу. Математичні моделі технічних, соціальних, економічних процесів, природних явищ стали більш точними та повноцінними. Вони глибоко відображають природу речей, існуючі закономірності, що дозволяє вивчати складні динамічні процеси на новому рівні. Тобто в результаті науково-технічного прогресу математичний апарат та галузь математичного моделювання перетворилися на універсальну мову науки, що є засобом розробки методів аналізу та дослідження характеристик і структур багатьох інших наукових напрямів. Л. Гусака вважає, що сучасна математика стала дедуктивною наукою про структури, що дозволяє застосовувати її апарат для дослідження різноманітних процесів. Таким чином, прогрес у галузі математичних методів та математичного моделювання, розширення меж їх впровадження, застосування математичного апарату в технічних та гуманітарних науках, безумовно, сприяє якнайширшому використанню математичного моделювання в дисертаційних дослідженнях.
Математичне моделювання в наукових і дисертаційних дослідженнях є одним з основних методів, які дозволяють вивчати фізичні, біологічні, хімічні, економічні, соціальні та інші прикладні задачі вивчення динамічних та статичних процесів шляхом побудови математичних моделей та подальшого їх дослідження. За словами В. Глушкова, "математична модель являє собою систему математичних співвідношень ? формул, рівнянь, систем рівнянь, що описують ті чи інші сторони об'єкту чи процесу, що вивчаються". В. Зарубін вважає, що елементи математичного моделювання з'явилися з появою точних наук. Тому перші методи розрахунків носять імена Ньютона, Ейлера та інших видатних учених. З появою та розвитком обчислювальної техніки почала розвиватися методологія математичного моделювання.
Як зазначає в своєму дослідженні Кен Хустон, у кінці 80-х рр. більшість британських ВНЗ почали включати в програму підготовки курси із математичного моделювання. На міжнародній конференції "Навчання математичному моделюванню та застосуванню програмних засобів", присвяченій підготовці фахівців в галузі математичного моделювання, було представлено різноманітні розробки щодо нових курсів та особливості викладання дисциплін із математичного моделювання. В наступні два десятиліття освітні технології викладання спеціалізованих курсів та самі методи математичного моделювання продовжували стрімко розвиватись. Етапи щодо вирішення наукових завдань в дисертації шляхом застосування методів математичного моделювання найчастіше подаються вченими М. Андресеном, В. Блумом, М. Бломхоєм, Б. Вернером, Б. Фері, К. Хустоном в такому вигляді: визначення сутності та змісту реальної проблеми або задачі; формулювання постановки задачі на мові математичних символів, знаків, операторів інтегрування та диференціювання рівнянь або систем; розробка алгоритму щодо розв'язання задачі; перевірка та аналіз одержаних результатів; створення математичної моделі; розв'язання задачі; підготовка звіту щодо одержаних результатів вирішення завдання, подання даних в зручному форматі. На думку С. Ашманова та В. Олексенко, сучасні прикладні завдання та проблеми відрізняються своєю складністю. У першу чергу це стосується дослідження соціальних, економічних, екологічних та інших процесів, які іноді неможливо провести, залучивши звичайні теоретичні методи. Крім того, потрібно, щоб точність вимірювань та прогнозів досліджуваних характеристик зазначених процесів була високою для можливості використання результатів у реальному житті. Цей факт зумовлює використання саме методів математичного моделювання, які відрізняються своєю високою точністю, потужністю та універсальністю. Тому, можна погодитись з визначенням математичного моделювання А. Самарського, який вважає, що "математичне моделювання є неминучим складником науково-технічного прогресу". Математичне моделювання в дисертації складається з трьох основних блоків: моделі, алгоритму та програми. Ці три складники базуються на використанні різноманітних методів та підходів - від якісного аналізу нелінійних моделей до сучасних мов програмування. На думку А. Асанова, сутність процесу моделювання полягає саме в заміні реальної системи (процесу або явища) моделлю, яка знаходиться з нею (ним) у деякому співвідношенні та здатна відтворювати властивості та характеристики реальної системи, які є предметом. Як зазначає А. Семенова, "модель" у широкому значенні розуміють як мисленнєву або практично створену структуру, яка відображає частину дійсності у спрощеній і наочній формі. В енциклопедичному словнику О. Прохорова "модель" визначена як схема, графік будь-якого об'єкта, процесу або явища, що є його спрощеною зміною, описаною знаковими засобами (формулами, графіками та ін.), яка використовується з метою одержання чи збереження інформації про нього. На думку М. Громкової, найбільш повний аналіз дефініції "модель" провів О. Анісімов. Учений наводить такі визначення поняття "модель": структура, яка ілюструє основні властивості майбутньої адекватної теорії; евристичний засіб для порівняння незвичного до звичайного; фізичні абстракції, що не втрачають з огляду на те, що можна пояснити; те, що відображає або відтворює об'єкт дослідження, що допомагає його вивченню та збереженню нової інформації; представник складного оригіналу на базі спільності та суттєвості, який складається для вирішення окремої задачі, полегшує сприйняття та розуміння оригіналу. Крім того, вчена розглядає такі визначення поняття "моделювання": імітування систем шляхом спеціального конструювання, що відповідають принципам організації та функціонування системи; те, що замінює об'єкт вивчення за допомогою аналогів іншого масштабу в лабораторних умовах та дає відповідь відносно будови та поведінки об'єкту в реальних умовах.
У свою чергу, математичне моделювання в дисертації являє собою методологію, яка доповнює сучасні методи досліджень багатьох наукових напрямів. Але використання цієї методології не буде ефективним, якщо не буде чітко сформульована постановка задачі, проведено аналіз адекватності та доцільності використання моделі, не буде досягнуто гарантованої точності підрахунків.
А. Боголюбов, А. Мишкіс виділяють додаткові вимоги до математичної моделі. Це повнота (інформативність) моделі, наочність, максимальне спрощення моделі та відповідність системі.
Ю. Лазарєв вважає, що математична модель заміщує собою оригінал тільки в інформаційному сенсі. Спільним є лише взаємозв'язок між реальними фізичними величинами оригінала, з одного боку, та математичним зв'язком між знаками, відображаючи ці величини в математичній моделі - з іншого боку.
Найбільш точне та повне визначення поняття "математичне моделювання" наводить А. Асанов, який підкреслює, що, математичне моделювання є знаковим моделюванням, при якому опис об'єкта відбувається на мові математики, а дослідження моделі проводиться з використанням тих або інших математичних методів. Він також вважає, що математичне моделювання є одним із найбільш результативних методів наукового пізнання, який найчастіше використовується при розв'язанні завдань дисертації. Це обумовлено тим, що математичне моделювання в порівнянні з іншими різновидами досліджень:
є більш економічним, що дозволяє зберегти ресурси реальної системи;
дозволяє моделювати гіпотетичні об'єкти та системи;
дає змогу досліджувати процеси, які є небезпечними або важко відтворюваними в реальності;
надає можливість зміни масштабу часу;
базується на універсальних технічних та програмних засобах;
дає можливість прогнозувати та виявляти загальні закономірності досліджуваних процесів та явищ;
надає можливість проводити багатофакторний аналіз.
Отже, математичне моделювання можна визначити як метод наукового пізнання, який використовується для вирішення дисертаційних завдань та базується на побудові системи математичних співвідношень (формул, рівнянь, систем рівнянь, що описують ті чи інші сторони об'єктів (процесів або явищ), які вивчаються) дослідження яких проводиться з використанням математичних методів.
Науковці технічного університету Данії (The Technical University of Denmark), розуміють сукупність наступних компетенцій в галузі математичного моделювання:
здатність виявляти проблему та розглядати її на абстрактному математичному рівні для її подальшого розв'язання або дослідження;
здатність робити постановку задачі, цілепокладання та висновки щодо вирішення проблеми;
здатність обирати оптимальне рішення, яке базується на знаннях математичних методів;
вміння застосовувати відомі математичні алгоритми на практиці для розв'язання задач різного напряму;
вміння розробляти та використовувати сучасне програмне забезпечення для проектування математичних моделей;
здатність застосовувати принципи побудови математичних моделей;
готовність оцінювати та інтерпретувати дані складних процесів, що підлягають дослідженню;
глибоке розуміння алгоритмів та математичних методів обчислень характеристик математичної моделі, а також елементів технологічної проблеми та їх взаємодію;
здатність оцінювати та розділяти складні питання на більш прості елементи, пропонуючи заходи та алгоритми для їх розв'язання;
здатність знаходити рішення щодо складних проблем математичного моделювання суміжних галузей знань;
здатність розробляти математичні моделі відповідних систем і процесів для вирішення проблем, використовуючи при цьому творчий аналіз та можливості моделювання;
готовність до взаємодії з колегами та спеціалістами інших галузей.
Ще один зарубіжний науковець Ж. Секерак зазначає, що компетенція з математичного моделювання об'єднує знання та навички із математичного моделювання, а також здатність фахівця застосовувати в професійній діяльності, дозволяючи йому діяти адекватно в конкретній ситуації. Учений пропонує виділити такі ключові компетенції:
уміння зробити постановку задачі, визначити в дисертації вхідні та вихідні елементи математичної моделі;
вміння аналізувати ситуації, процеси, явища, системи, які підлягають моделюванню та подальшому дослідженню;
вміння та навички робити "математизацію" реальних об'єктів, робити опис закономірності мовою математики (вміння перекладати закономірності реальних процесів та систем на мову математичних знаків, функцій, рівнянь та систем);
уміння та навички проектувати складники математичної моделі, об'єднувати їх в єдину систему;
вміння та навички проводити аналіз обмежень та меж показників математичної моделі;
вміння тестувати показники одержаної моделі, інтерпретувати одержані результати щодо реальних умов;
вміння та навички відстежувати та контролювати процес моделювання. Розглядаючи роботи М. Нісса, Д. Секерак вважає, що компетентність у математичному моделюванні є перш за все здатністю людини використовувати знання з математики та математичного моделювання в різних ситуаціях та галузях науки, а також розуміти суть проблеми, приймати рішення та визначати причинно-наслідкові зв'язки у процесі вирішення завдання.
М. Бломходж та Т. Ходжард вважають, що компетентність у математичному моделюванні обов'язково повинна базуватися на зазначених нижче вміннях та навичках майбутнього фахівця, а також на готовності та здатності використовувати їх на практиці. До них слід віднести такі:
уміння та навички щодо формулювання задачі, завдяки якій можна визначити характеристики реальної ситуації, явища, об'єкта, що моделюються;
уміння та навички обирати відповідні об'єкти, знаходити взаємозв'язки між компонентами досліджувального процесу, явища, системи;
уміння та навички створювати та описувати приблизну (ідеальну) модель об'єкта дослідження для створення в подальшому її математичного опису;
уміння та навички перекладати розроблені уявлення про об'єкти і взаємозв'язки на мову математичних формул та знаків, у вигляді рівнянь або систем рівнянь;
здатність використовувати математичні методи для досягнення мети та постановки задачі дисертаційного дослідження;
уміння та навички робити інтерпретацію одержаних даних та формулювати висновки, порівнюючи розроблену модель з реальним об'єктом дослідження;
здатність оцінити ефективність застосування розробленої математичної моделі в порівнянні з існуючими розробками, які базуються на спостереженнях, прогнозах або теоретичних знаннях. Тобто компетентність у математичному моделюванні визначається зарубіжними вченими як готовність та здатність майбутнього фахівця самостійно та чітко виконувати етапи процесу моделювання від формулювання задачі до оцінки ефективності розробленої математичної моделі в порівнянні з іншими розробками щодо вирішення завдання.
Крім того, вони наголошують, що компетентність у математичному моделюванні повинна базуватися на наступних принципах. По-перше, компетентність у математичному моделюванні неодмінно повинна базуватися на готовності майбутнього фахівця до дії, до застосування знань, умінь, навичок щодо побудови математичних моделей на практиці при вирішенні професійного завдання. По-друге, компетентність у математичному моделюванні залежить від здатності фахівця виконувати професійні обов'язки, вирішувати інженерні задачі, застосовуючи метод математичного моделювання. По-третє, компетентність у математичному моделюванні повинна базуватися на знаннях, вміннях та навичках із математичного моделювання (певних компетенціях), а також особистісних якостях фахівця, які необхідні майбутньому фахівцю для виконання професійних обов'язків.
На основі теоретичного аналізу літературних джерел та узагальнення ідей науковців, під професійною компетентністю із математичного моделювання слід розуміти "особистісне новоутворення, у якому поєднуються знання, вміння, навички, особистісні професійно значущі якості, що дають змогу майбутньому фахівцю робити постановку задачі, обирати об'єкти моделювання та знаходити взаємозв'язки між компонентами досліджувального процесу, перекладати розроблені уявлення на мову математичних формул і знаків, розуміти алгоритми та математичні методи обчислень характеристик математичної моделі, робити інтерпретацію отриманих даних і формулювати коректні висновки, а також ефективно працювати в команді спеціалістів і нести відповідальність за результати професійної діяльності з математичного моделювання".
У загальному випадку процес постановки та розв'язання наукового завдання відбувається за певною схемою. На першому етапі аспірант, що має зробити математичне моделювання в дисертації стикається з проблемою, завданням, яке потрібно розв'язати. Головним призначенням початкового етапу є логічне осмислення конкретної проблеми в контексті системного моделювання. Майбутній фахівець повинен провести аналіз, чи достатньо вхідних даних задачі для побудови математичної моделі. У випадку відсутності необхідних даних потрібно провести уточнення завдання, можливо звузити та спростити проблему, яка буде вирішуватися. Крім того, необхідно визначити форму для представлення результатів розв'язання проблеми.
Як зазначає А. Леоненков, на цьому етапі розв'язання проблеми зазвичай використовують такі методи системного аналізу:
методи побудови логічних сценаріїв на природній мові для проведення аналізу можливих способів та шляхів розв'язання задачі;
методи мозкового штурму для генерації нових ідей та нестандартних підходів вирішення проблеми;
методи морфологічного та концептуально аналізу;
методи побудови та аналізу дерева цілей, які дозволяють розбити вихідну задачу на більш прості структурні компоненти.
Необхідно зауважити, що деякі з перерахованих методів потребують стійкої позитивної мотивації щодо розв'язання проблеми та наявності певних комунікативних навичок, тому що сучасні складні завдання, з якими майбутній фахівець зіткнеться у своїй професійній діяльності, практично неможливо вирішувати самотужки і над їх розв'язанням працює команда спеціалістів. Тому майбутній фахівець повинен вміти працювати в команді, висловлювати свої думки та переконання, доводити власну точку зору, уникати конфліктних ситуацій.
Розглянемо більш детально етапи розв'язання завдань дисертаційного дослідження шляхом використання математичного моделювання. Доцільно виділити чотири основні етапи. До них слід віднести такі.
1 етап: Проектування математичної моделі динамічної системи:
формулювання (постановка) задачі, для розв'язання якої створюється математична модель динамічної системи. Визначаються вхідні та вихідні параметри системи, обговорюються внутрішні показники системи та обмеження;
динамічна система розбивається на окремі компоненти;
складаються відповідні диференційні рівняння для кожного окремого компонента динамічної системи;
спрощення нелінійних залежностей шляхом інтегрування та зведення до лінійних диференційних рівнянь, що може спростити динамічну систему в цілому;
описання зв'язків між елементами (ланками) динамічної системи, у тому числі закріплення прямих та зворотних зв'язків;
виконання перетворення розмірності системи диференційних рівнянь, якщо це необхідно.
2 етап: Проведення аналізу одержаної математичної моделі:
доведення існування розв'язання сформульованої задачі, для якої побудовано математичну модель;
логічне обґрунтування існування єдиного розв'язку або безлічі розв'язань поставленої задачі;
аналіз можливих меж для параметрів описаної динамічної системи диференціальних рівнянь та тенденцій їх зміни;
у випадку відсутності рішення поставленої задачі виконання коректування постановки задачі, методів її математичної формалізації;
3 етап: Проведення цифрового моделювання засобами інформаційних технологій (використання пакету моделювання динамічних систем Simulink (MATLAB):
розробка алгоритму чисельного рішення сформульованої задачі, використовуючи пакет Simulink (MATLAB);
проведення чисельних експериментів, змінюючи вхідні параметри, зовнішні умови спроектованої динамічної системи.
4: Проведення аналізу та синтезу одержаних чисельних результатів:
оцінка коректності одержаних результатів чисельного моделювання;
оцінка адекватності створеної математичної моделі явищ, що вивчаються, процесів, складних об'єктів;
аналіз описаної математичної моделі динамічної системи, її "вхід-вихідних диференційних рівнянь", передатної функції, описання одержаної математичної моделі у просторі стану.
Майбутній фахівець готується до виконання проектної, аналітичної, технологічної, експлуатаційної, прогностичної, дослідницької та організаційної діяльності. Основними її складниками є такі:
розробка постановки задач та алгоритмів їх розв'язання;
дослідження та вибір методів моделювання для розв'язання сформульованих задач;
аналіз джерел інформації, необхідних підходів для розв'язання задач вибору та обґрунтування найбільш адекватних умов конкретного об'єкту;
моделювання процесу прийняття рішень з урахуванням невизначеності;
побудова та аналіз математичних моделей об'єктів (систем) управління;
побудова математичних моделей систем і процесів, перевірка їх адекватності;
визначення та верифікація прогнозних оцінок розвитку технічних процесів (систем);
дослідження та вибір машинної реалізації математичних моделей і методів прогнозування показників технічних та організаційних систем;
дослідження та розробка евристичних процедур та методів експертизи для вирішення сформульованих задач;
визначення технологічних операцій та послідовності їх виконання;
оцінка обсягів та розподіл робіт між виконавцями, визначення етапів роботи та термінів їх виконання, створення виробничої системи;
організація взаємодії розробника та користувача інформаційної системи чи її фрагмента;
аналіз та підготовка аналітичних доповідей з певної проблеми; o уміння правильно аналізувати мету, задачі та практику інформаційного обслуговування об'єктів;
розробка заходів обробки результатів дослідження ринку та виявлення суспільної думки;
оброблення даних з використанням програмного забезпечення загального призначення.

Хочете математичну модель в дисертації? - допоможемо!